[数论](6)高斯消元

思路:

    初等行列变化:
        1.某一行乘上一个非零数,矩阵不变
         2.某一行乘上一个常数加到另一行上,矩阵不变
         3.交换矩阵中某两行的元素
    
    思路:利用初等行列变化初等行列变化将矩阵变换成上三角形矩阵,再由后往前推出解

    上三角形矩阵带来的结果有三种:无解,有唯一解,无穷多解
    
    无解:若在最后化成的上三角形矩阵中,正对角线中某个元素为0,但其所在行的最后一列元素不为0时,此时矩阵无解无解:若在最后化成的上三角形矩阵中,正对角线中某个元素为0,但其所在行的最后一列元素不为0时,此时矩阵无解
    
    有无数解:若在最后化成的上三角形矩阵中,存在正对角线中某个元素为0,且其所在行的最后一列元素也为0时,此时矩阵有无穷组解有无数解:若在最后化成的上三角形矩阵中,存在正对角线中某个元素为0,且其所在行的最后一列元素也为0时,此时矩阵有无穷组解
    
    有唯一解:若在最后化成的上三角形矩阵中,不存在正对角线中某个元素为0,此时矩阵有唯一解

算法步骤:

高斯消元步骤:
    1.筛选出所在列元素最大的行
    2.将步骤1筛选出的行与所在行进行交换
    3.将所在行所在列元素变为1
    4.将所在行所在列的后面行的所在列元素变为0

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源码:

const int N = 110;
const double eps = 1e-6;
int n;
double a[N][N];
int gauss()
{
    int c, r;// c 代表 列 col , r 代表 行 row
    for (c = 0, r = 0; c < n; c ++ )
    {
        int t = r;// 先找到当前这一列,绝对值最大的一个数字所在的行号
        for (int i = r; i < n; i ++ )
            if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
                t = i;

        if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;// 如果当前这一列的最大数都是 0 ,那么所有数都是 0,就没必要去算了,因为它的约束方程,可能在上面几行

        for (int i = c; i < n + 1; i ++ ) swap(a[t][i], a[r][i]);//// 把当前这一行,换到最上面(不是第一行,是第 r 行)去
        for (int i = n; i >= c; i -- ) a[r][i] /= a[r][c];// 把当前这一行的第一个数,变成 1, 方程两边同时除以 第一个数,必须要到着算,不然第一个数直接变1,系数就被篡改,后面的数字没法算
        for (int i = r + 1; i < n; i ++ )// 把当前列下面的所有数,全部消成 0
            if (fabs(a[i][c]) > eps)// 如果非0 再操作,已经是 0就没必要操作了
                for (int j = n; j >= c; j -- )// 从后往前,当前行的每个数字,都减去对应列 * 行首非0的数字,这样就能保证第一个数字是 a[i][0] -= 1*a[i][0];
                    a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];

        r ++ ;// 这一行的工作做完,换下一行
    }

    if (r < n)// 说明剩下方程的个数是小于 n 的,说明不是唯一解,判断是无解还是无穷多解
    {// 因为已经是阶梯型,所以 r ~ n-1 的值应该都为 0
        for (int i = r; i < n; i ++ )// 
            if (fabs(a[i][n]) > eps)// a[i][n] 代表 b_i ,即 左边=0,右边=b_i,0 != b_i, 所以无解。
                return 2;
        return 1;// 否则, 0 = 0,就是r ~ n-1的方程都是多余方程
    }
    // 唯一解 ↓,从下往上回代,得到方程的解
    for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
        for (int j = i + 1; j < n; j ++ )
            a[i][n] -= a[j][n] * a[i][j];//因为只要得到解,所以只用对 b_i 进行操作,中间的值,可以不用操作,因为不用输出

    return 0;
}

本文链接:

https://nullcode.fun/144.html
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