[数论](3)欧拉函数

欧拉函数

朴素求欧拉函数

思路：套用公式，应用于求某一个数的欧拉函数

欧拉函数：求1-n中与n互质的数的个数(互质:两数之间除了1无其他公约数)

伪码:

```C++ 给定一个数n,求1-n中与n互质数的个数 初始化res为n,套用公式 i从2开始,直到[ i = x/i ] 结束(从大到小枚举它的质因子) 若存在[ x % i == 0 ]的情况(代表i为x的最小质因子) 将x除干净 套用公式: res = res ( 1 - 1 / i ) 形变为 res = res / i ( i - 1 ) 因为不能存在小数 如果此时x还大于1,则代表存在一个大于根号x的质因子,继续套用公式 res = res / x * ( x - 1 )

源码:

```C++
int get_euler(int x) {
    int res = x;
    for (int i = 2; i <= x / i; i++) {//分解质因数
        if (x % i == 0) {
            while (x % i == 0)x /= i;
            res = res / i * (i - 1);//形变公式
        }
    }
    if (x > 1)res = res / x * (x - 1);
    return res;
}

线性筛求欧拉函数

思路:采用线性筛结合欧拉函数的引理求1 - n 中每一个数的欧拉函数

源码:

```C++ LL get_eulers(int x) { phi[1] = 1;//通过定义特殊判断

for (int i = 2; i <= x; i++) {
    if (!st[i]) {
        st[i] = true;
        prime[cnt++] = i;
        phi[i] = i - 1;//通过性质一判定(费马小定理)
    }
    for (int j = 0; prime[j] <= n / i; j++) {
        st[prime[j] * i] = true;
        if (i % prime[j] == 0) {
            phi[prime[j] * i] = phi[i] * prime[j];//通过性质二判定
            break;
        }
        phi[prime[j] * i] = phi[i] * (prime[j] - 1);
    }
}
LL res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) res += phi[i];
return res;//返回的是所有欧拉函数的个数之和

}

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